De verzamelingenleer werd door de Duitse wiskundige Georg Cantor ontwikkeld aan het eind van de 19e eeuw. Hoewel de theorie initieel als controversieel werd beschouwd, verkreeg de theorie al in het begin van de 20e eeuw de positie van basis-theorie, een theorie die de basis voor het wiskundig bouwwerk vormde. Zo worden alle begrippen als natuurlijke getallenlen en functiess gedefinieerd op basis van verzamelingen.

Er wordt onderscheid gemaakt tussen intuitieve verzamelingenleer en formele verzamelingenleer. Deze laatste is opgezet omdat de intuitieve verzamelingenleer aanleiding gaf tot een aantal paradoxen, die kunnen worden geillustreerd met de "catalogus paradox":

Bibliotheken hebben een catalogus waarin alle boeken staan vermeld die in de bibliotheek aanwezig zijn. Sommige van deze catalogi vermelden zichzelf, anderen vermelden zichzelf niet.

Er is een bibliotheek met alle catalogi die zichzelf niet vermelden. De catalogus van deze bibliotheek, vermeldt deze zichzelf of niet?

Een andere vorm van deze paradox is de barbier van Sevilla: In de middeleeuwen had de barbier van Sevilla een uithangbord: "Ik scheer alle mannen die niet zich zelf scheren". Hij wist echter geen antwoord toen iemand hem vroeg: en scheert u zich zelf of niet?

In de intuïtieve verzamelingenleer kan een vergelijkbare paradox gecreëerd worden door 'de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten'. Dit heet de Russell paradox. De formele verzamelingenleer lost dit op door de regel te laten vallen dat "voor elke eigenschap A bestaat de verzameling van alle dingen met eigenschap A", en deze te vervangen door "voor elke verzameling V en eigenschap A bestaat de verzameling van alle elementen van V die eigenschap A hebben", in combinatie met een aantal andere regels (zoals "voor elke verzameling V bestaat de verzameling van alle deelverzamelingen van V"). Op deze wijze kunnen bovenstaande verzameling en andere problematische verzamelingen (zoals de verzameling van alle verzamelingen, die volgens het diagonaalbewijs van Cantor kleiner dan een deel van zichzelf moet zijn) worden vermeden, terwijl alle verzamelingen die daadwerkelijk in de wiskunde en logica gebruikt worden wel geconstrueerd kunnen worden.