De stelling van Pythagoras is waarschijnlijk de meest bekende stelling in de wiskunde. 'Zijn' stelling was overigens alleen maar nieuw voor de Grieken. In Babylonië was het resultaat al veel langer bekend. De stelling zegt iets over de relatie tussen de rechthoekszijden en de schuine zijde van alle rechthoekige driehoeken.
In de rechthoekige driehoek ABC zijn de zijden a en b de rechthoekszijden. De zijde c noemen we de schuine zijde of hypotenusa.
De stelling van Pythagoras luidt:
- "In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hypotenusa gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden."
Anders geformuleerd: - a2+b2=c2
De stelling van Pythagoras is één van de oudste stellingen uit de oudheid. Volgens de legende was Pythagoras zo is z'n nopjes met zijn ontdekking van de stelling dat hij een offer aan de goden bracht in de vorm van een paar ossen.
| | Er bestaan vele tientallen bewijzen van deze stelling. Een van de eenvoudigste vormen maakt gebruik van vier rechthoekige driehoeken, als in de afbeelding hiernaast. Telkens zijn een korte en een lange zijde in elkaars verlengde geplaatst.
De lengte en breedte van de zijden van het vierkant zijn (a+b), dus de oppervlakte van het grote vierkant is (a+b)2.
De oppervlakte is ook gelijk aan de som van de vier driehoeken (4 × ½ab) en de oppervlakte van het binnenste vierkant, dat oppervlakte c2 heeft.
Dus (a+b)2=2ab + c2.
Uitwerken van het kwadraat links geeft:
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 Dus:
a2 + b2 = c2
Q.E.D |
De kleinste gehele waarden die aan de stelling van Pythagoras voldoen zijn 3,4,5 (32 + 42 = 52). Uiteraard voldoet ook elk veelvoud hiervan, zoals 62 + 82 = 102.
Er zijn oneindig veel combinaties van gehele getallen die aan de vergelijking x2+y2=z2 voldoen. (5,12,13) is een andere combinatie. Deze combinaties worden ook wel Pythagoreïsche tripletten genoemd.
Zie ook: Pythagoras; stelling van Fermat. 
