Gemiddelde en statistiek
Populatiegemiddelde In de statistiek wordt het gemiddelde van de gehele populatie vaak aangeduid met de griekse letter μ. Bij een discrete verdeling van de waarschijnlijkheid f(x) is dit gemiddelde te vinden uit de som:
Bij een continue verdeling van de waarschijnlijkheidsdichtheid f(x) is dit gemiddelde te vinden uit de integraal:
Het is echter vaak onmogelijk om dat populatiegemiddelde te bepalen. Bijvoorbeeld als we geïnteresseerd zijn in de gemiddelde bloeddruk van de Sumatraanse neushoorn, zou dat kunnen omdat er nog maar zo'n 250 van zijn. Bij muskieten ligt dat heel anders. Er zijn er gewoon te veel om ze allemaal te kunnen onderzoeken. Daarom werken statistici meestal met een steekproef.
Steekproefgemiddelde
Het gemiddelde van een steekproef wordt vaak gebruikt om iets te zeggen over dat van de populatie μ, maar daar zitten een paar haken en ogen aan. Het steekproefgemiddelde zegt weinig over een individueel geval zonder kennis van de standaarddeviatie σ en de vorm van de verdeling f(x). Er zijn zelfs verdelingen van de waarschijnlijkheidsdichtheid die geen populatiegemiddelde bezitten, omdat de bovenstaande integraal niet bestaat. Gelukkig mogen wij echter vaak aannemen dat de verdeling f(x) normaal is.
Bovendien is het steekproefgemiddelde maar een schatting van μ en die schatting wordt nauwkeuriger naarmate de steekproef groter wordt. Daardoor kan zonder verdere statistische analyse geen uitspraak gedaan worden of de verschillen in de gemiddelde waarde tussen twee populaties statistisch significant is.
Om zinnig met steekproefgemiddelden te werken hebben we een maat voor de nauwkeurigheid van het gemiddelde nodig, nl. de standaardfout van het gemiddelde se.
Indien de aanname van een normale verdeling gerechtvaardigd is kunnen uit de steekproef ook een schatting voor de standaarddeviatie σ (nl. de standaarddeviatie van de steekproef s) en daaruit een schatting voor de standaardfout van het gemiddelde verkregen worden, nl se =
Voorbeeld
- Stel de lengte van een bepaalde groep meisjes op een middelbare school bedraagt gemiddeld 1.72. Dit zegt weinig over de lengte van een individueel meisje.
- Stel op school A is de gemiddelde lengte van de meisjes 1.75, op school B is de lengte 1.68. Dit wil niet zeggen dat alle meisjes op school B kleiner zijn dan die van school A. Evenmin zal dit, zonder verdere statistische analyse iets kunnen zeggen over het verschil van de lengte van de jongens, of van de meisjes het jaar erop.
Zie ook: mediaan en modus
