In het meesterwerk, de 'Elementen' van Euclides wordt het bouwwerk van de Meetkunde gebaseerd op een vijftal postulaten, de eerste 28 daarvan zelfs op de eerste vier. Vrij vertaald luiden ze:

1. Door twee punten kun je altijd precies één rechte lijn trekken.

2. Een rechte lijn kun je eindeloos doortrekken terwijl het een rechte lijn blijft.

3. Elke rechte lijn kan de straal van een cirkel zijn, waarbij een van de uiteinden van die lijn het middelpunt van die cirkel is.

4. Alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk.

Het vijfde postulaat is nogal ingewikkeld geformuleerd, maar het komt hierop neer:

5. Als je een oneindig lange rechte lijn hebt en een punt daarbuiten, dan kun je daar precies één oneindig lange lijn doorheen trekken die de eerste niet snijdt.

De meetkunde die mede op dit laatste postulaat gebaseerd is, heet Euclidische meetkunde.

De rechte lijnen in deze meetkunde kun je je voorstellen als in een plat vlak: de twee lijnen in het 5e postulaat zijn dan als de spoorstaven van treinrails die elkaar immers ook nooit snijden.

Geen enkel van de postulaten kan bewezen worden. Het zijn uitgangspunten waarop de meetkunde is gebaseerd. Vele wiskundigen hebben geprobeerd het vijfde postulaat te bewijzen uit de vier anderen, maar tevergeefs.

Sterker nog: er zijn (even onbewijsbare) alternatieven voor, de niet-Euclidische meetkundes, bijvoorbeeld de:

Table of contents

1 Elliptische meetkunde 2 Hyperbolische meetkunde 3 Analogieën

Elliptische meetkunde

5. (...) dan kun je daar niet één oneindig lange lijn doorheen trekken die de eerste niet snijdt.

Hier moet je je losmaken van het gebruikelijke beeld van een punt en een rechte lijn. Een 'rechte lijn' is hier een (deel van een) grootcirkel om een bol, dat is een cirkel die het centrum van de bol als middelpunt heeft, zoals de evenaar van de aardbol. Een 'punt' bestaat hier uit twee helften, een aan de ene kant van de bol en een precies aan de andere kant. Dit lijkt vreemd, maar het is niet in tegenspraak met de eerste vier postulaten.

En nu komt het: een tweetal 'rechte lijnen' door twee verschillende 'punten' snijden elkaar altijd, en wel in één 'punt'. Dit is een ontkenning van het 5e postulaat van Euclides.

Een tweede soort ontkenning is de:

Hyperbolische meetkunde

5. (...) dan kun je daar minstens twee oneindig lange lijnen doorheen trekken die de eerste niet snijden.

Deze meetkunde kun je je voorstellen als een die zich afspeelt binnen een cirkel, waar een 'rechte lijn' een cirkelsegment is die de eerstgenoemde cirkel loodrecht snijdt (alle middellijnen van de cirkel horen daar ook bij).

Analogieën

Er is een analogie met kegelsneden, zodat de Euclidische meetkunde kan worden opgevat als een grensgeval tussen de elliptische en hyperbolische, en dus 'parabolische' meetkunde zou mogen heten.