De logaritme is een wiskundige functie, gewoonlijk afgekort tot log. De logaritme van een getal wordt altijd berekend op basis van een grondtal, meestal het getal 10 of het getal e. In het laatste geval spreekt met van de "natuurlijke logaritme", soms (maar zeker niet altijd) afgekort to ln.
Definitie van logaritme
De logaritme bij grondtal a van een getal x, is die macht waartoe a verheven moet worden om x te krijgen.
|
Grafiek van de logaritme met grondtal 10 als functie van x.
Let op: aan de linkerzijde van de grafiek heeft de logaritme een asymptoot naar -oneindig als x zeer klein wordt. |
Grootte ordes en logaritmes
De logaritme geeft de orde-grootte van een getal aan. Als we 10 als grondtal nemen is dat goed te zien:
logaritme van 1 geeft 0; logaritme van 10geeft 1; logaritme van 100 geeft 2; logaritme van 1000 geeft 3;
We merken op dat de gegeven voorbeelden machten van 10 zijn (1000 = 10*10*10) = 103. Het werkt ook voor negatieve machten bijvoorbeeld: logaritme van 0,1geeft -1; logaritme van 0,01 geeft -2; logaritme van 0,001 geeft -3;
Voor steeds kleinere getallen wordt de logaritme een steeds groter negatief getal. Daarom heeft de grafiek van de logaritme een asymptoot bij nul. De logaritme van 0 is dan ook niet gedefinieerd.
De logaritme geeft dus ongeveer het aantal decimalen waaruit een getal bestaat.
Voor getallen die niet een macht van 10 zijn is het iets ingewikkelder, bijvoorbeeld:
logaritme van 50 geeft ongeveer 1,70. (omdat 101,7 =50)
Verder moet x een positief reëel getal zijn. Ook a is positief en mag bovendien niet gelijk zijn aan 1
Preciezer is de logaritme de omgekeerde bewerking van machtsverheffen:
- alog(x) = y omdat ay = x.
Deze uitdrukkingen vormen de definitie van de logaritme. Andere grondtallen
Bovenstaande voorbeelden zijn gebaseerd op machten van het grondtal 10. We kunnen echter ook bijvoorbeeld 2 als grondtal nemen.
2log van 2 geeft 1; 2log van 4 geeft 2; 2log van 8 geeft 3;
En negatief: 2log van 1/2 geeft -1; 2log van 1/4 geeft -2;
Logaritmes met verschillende grondtallen zijn eenvoudig in elkaar om te zetten door gebruik te maken van:
2log(10)10log(x)= 2log(x)
De 10log en de 2log van een getal schelen dus altijd een factor 2log(10) van elkaar. Natuurlijke logaritme
De natuurlijke logaritme heeft een bijzonder grondtal: e=2,718281828... (e is net als pi een reëel getal dat een oneindig aantal niet-repeterende decimalen heeft.)
Deze logaritme is zo belangrijk in de wiskunde dat hij zijn eigen symbool heeft: ln. Als functie heeft de natuurlijke logaritme een bijzondere eigenschap: de eerste afgeleide van f(x)=ln(x) is de functie f'(x)=1/x. Van andere logaritmes kan ook wel een afgeleide bepaald worden maar die heeft dan een extra factor, immers:
f(x)=10log(x) =10log(e)elog(x)=10log(e).ln(x)
Zodat de afgeleide wordt:
f'(x) = 10log(e).(1/x)
Gebruik van logaritmen
Al eeuwen geleden was de logaritme belangrijk voor mensen die veel moesten rekenen: een eigenschap van logaritmen is namelijk dat je een vermenigvuldiging om kunt zetten naar een optelling mbv logaritmen:
log a + log b = log (a * b)
Je kunt dus de logaritme van a opzoeken, en de logaritme van b, beide optellen en bij de uitkomst het antwoord van de vermenigvuldiging terugzoeken. Hiervoor zijn eeuwenlang logaritmentafels (tabellen van getallen met hun logaritme) uitgerekend en gepubliceerd. Ze werden gebruikt door zeelieden bij de plaatsbepaling op zee (navigatie), door ingenieurs, etc. John Napier is degene die wordt beschouwd als de ontdekker/uitvinder van logaritmen, hij publiceerde erover in zijn werk Minifici Logarithmorum Canonis Descriptio uit 1614. Hij gebruikte oorspronkelijk als grondtal 1/e. De natuurlijke logaritme wordt naar hem ook wel de 'Neperse' logaritme genoemd, die met het grondtal tien de 'Briggse'.
Ook de rekenliniaal is op het principe van logaritmen gebaseerd: de schalen zijn zo ingedeeld dat de logaritmen van de weergegeven getallen lineair verlopen: het lijnstuk tussen 1 en 2 is even lang als het lijnstuk tussen 2 en 4. Door het optellen van twee lijnstukken ter lengte van de logaritme van de getallen leest men bij de uitkomst het resultaat van de vermenigvuldiging ervan af. Door de opkomst van de zakrekenmachine zijn zowel logaritmentafels als rekenlinealen in onbruik beraakt.
De logaritme komt goed van pas wanneer iets zo'n enorm bereik heeft dat het verschil tussen de allerlaagste en allerhoogste waarde ons ook niet zo veel meer zegt. Bekende logaritmische schalen zijn de decibel, de cent en pH.
Logaritmes van complexe getallen
Hierboven hebben we aangenomen dat het argument x (het getal waarvan we een logaritme nemen) een positief reëel getal is. Het is echter mogelijk de definitie van de logaritme uit te breiden naar negatieve en zelfs complexe argumenten. Een complex getal kan op een aantal verschillende weergegeven worden. Zoals de verzameling van alle reële getallen op de rechte kunnen worden weergegeven, zo vullen de complexe getallen een plat vlak. In dit vlak kan ieder punt (getal) met twee coördinaten ondubbelzinnig aangeduid worden. Er zijn twee manieren om dit te doen:
- met twee rechthoekige coördinaten, nl. het reële en het imaginaire deel: z = a +bi
- in poolcoördinaten, nl met een (positieve) straal r en een hoek φ
De twee zijn in elkaar over te voeren middels: z = a + bi = r.[cos(φ) + i.sin(φ)] De laatste uitdrukking kan echter ook als een exponent van het grondtal e geschreven worden. - z = a + bi = r.[cos(φ) + i.sin(φ)]= r.eiφ
Deze laatste stap staat bekend als de formule van Euler. In het algemeen kan de hoek φ iedere waarde hebben, ook negatief of groter dan een hele omwenteling van de cirkel. We kunnen echter dit probleem verhelpen door te schrijven φ = θp + 2π.n. De nieuwe hoek θp is beperkt tussen 0 en 2π en n is een geheel getal (positief of negatief).
We kunnen nu de Euler formule gebruiken om de logaritme te definiëren. We nemen e als grondtal en schrijven:
- log(z) =log( a + bi) =log( r.eiφ) = log(r) + log(eiφ)
- log(r) + log(eiφ)=log(r) + iφ = log(r) + iθp + 2π.ni
Het probleem hierbij is dat n nog steeds allerlei waarden kan hebben (n= ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...). De aldus gedefiniëerde functie log(z) heeft dus niet één uitkomst maar oneindig veel uitkomsten. Het is een veelwaardige functie. Als we alleen die waarde nemen waarvoor n=0, heet dat de principale waarde. Negatieve argumenten zijn een bijzonder geval van complexe argumenten. Bijvoorbeeld z= -1 is een complex getal op de eenheidscirkel met straal r=1 en een halve cirkel gedraaid θp= π. De logaritme van -1 heeft daarom een principale waarde van log(1) + iπ = iπ
