Groepentheorie is in de wiskunde de studie van symmetrieën. Een groep kan formeel gedefinieerd worden als een koppel G = (D, F) met D een verzameling en F een afbeelding (bewerking) van DxD naar D met de volgende eigenschappen:
associativiteit:
- F(F(a,b),c) = F(a,F(b,c)) voor alle a,b,c uit D
neutraal element: - er bestaat een n in D zodat F(a,n) = a = F(n,a) voor alle a uit D
symmetrisch element: - voor alle a uit D bestaat er een a* zodat F(a,a*) = n = F(a*,a)
Doorgaans wordt een additieve notatie gebruikt voor een groep, met infix + voor de bewerking, 0 voor het neutraal element en prefix - voor het symmetrisch element, de voorwaarden voor een groep zijn dan:
- (a+b)+c = a+(b+c)
- a+0 = a = 0+a
- a+(-a) = 0 = (-a)+a
In een groep geldt:
- a+x = b heeft precies één oplossing: x = (-a)+b en
- x+a = b heeft precies één oplossing: x = b+(-a)
Indien D eindig is, spreekt men van een eindige groep. Indien voor alle a, b uit D geldt dat
- a+b = b+a
heeft men te maken met een commutatieve groep. Als D' een deelverzameling is van D, en F' is de beperking van F tot D'xD', en G' = (D',F') is een groep, dan is G' een deelgroep van G.
Een voorbeeld van een deelgroep is de verzameling van de even getallen voorzien van de optelling, die een deelgroep is van de gehele getallen voorzien van de optelling.
Als we de kardinaliteit van een groep G = (D,F) definieren als de kardinaliteit van D,
- (G) = #(D)
dan hebben we voor eindige groepen de eigenschap dat, als G' een deelgroep is van G
- (G') een deler van #(G)
Analoog als voor natuurlijke getallen heeft elke groep zichzelf en de eenheidsgroep als deelgroep.
Het enumeratieprobleem voor eindige groepen is opgelost en herleidbaar tot het enumeratieprobleem van eindige simpele groepen.
Een eindige simpele groep behoort tot een van de volgende 5 families van groepen:
- Cyclische Groepen
- Alternerende Groepen
- Chevalley Groepen
- Lie Groepen
- Sporadische Groepen
Enkel de familie van sporadische groepen is eindig en bestaat uit 26 elementen, de andere families zijn oneindig. 
