Een graaf is een verzameling punten verbonden door lijnen (soms ook kanten genoemd). Afhankelijk van de toepassing kunnen de lijnen gericht zijn, dan worden ze ook wel pijlen genoemd, en kunnen punten al dan niet met zichzelf verbonden zijn. Soms worden er ook gewichten aan de lijnen toegekend door middel van getallen, deze stellen dan bijvoorbeeld de afstand tussen twee punten voor.

Structuren die als grafen weergegeven kunnen worden zijn alomtegenwoordig, en veel praktische problemen kunnen als een probleem op een graaf gemodelleerd worden. Grafen worden bijvoorbeeld gebruikt om eindige toestandsmachines te modelleren of om een schematische routekaart te maken tussen een aantal plaatsen met de afstanden daartussen. Over deze grafen kunnen algoritmes uitgevoerd worden om bepaalde eigenschappen van zo'n graaf te berekenen; binnen de informatica is dit een redelijk belangrijk onderwerp.

Table of contents

1 Definities van Grafen 1.1 Termen met betrekking tot grafen 1.2 Simpele grafen 1.2.1 Graafcomponenten en de samenhangende graaf 1.2.2 De boom 1.2.3 De complete graaf 1.2.4 De cykel-graaf 1.2.5 De Euler-graaf en de Hamilton-graaf 1.2.6 De planaire graaf 1.2.7 De bipartiete graaf 1.2.8 De Kliek 1.2.9 De Petersen-graaf 1.2.10 Graafoperaties, de 2-graaf en geïnduceerde grafen 1.3 Gerichte grafen 1.3.11 Enige verschillen ten opzichte van simpele grafen 1.4 Gelabelde en gewogen grafen 1.5 Problemen op Grafen 2 Belangrijke algoritmes op grafen 3 Gerelateerde wiskundige gebieden 4 Bronnen

Definities van Grafen

Een graaf is een verzameling knopen (engels: vertices) en een verzameling kanten op die knopen:

Een graaf G = (V, E) met

• V een verzameling knopen ()

E een multiset of bag :

V(G) = de knopen van G

E(G) = de kanten van G

Meestal wordt niet met dergelijke, algemene grafen gewerkt. Daarentegen wordt meestal gebruik gemaakt van grafen waarbij er meer limieten zijn op de manier waarop kanten voor mogen komen.

Termen met betrekking tot grafen

• Voor een graaf G = (V,E) is incidentie of directe verbondenheid (aangegeven met de operator ) gedefinieerd als

d.w.z. twee knopen zijn direct verbonden (of incident) als er een kant tussen loopt. Twee knopen zijn verbonden als er een pad van kanten tussen loopt (d.w.z. als ze gerelateerd zijn in de transitieve sluiting van de relatie ):

• Een knoop k kan ook incident zijn met een kant: k heet incident met een kant e als k een begin- of eindpunt van e is

• Een wandeling tussen twee verbonden knopen a en b is een rijtje knopen met kanten ertussen waardoor a en b verbonden zijn:

De simpele graaf vindt veel toepassing binnen de wiskunde en de informatica. Over simepele grafen is dan ook een groot lichaam aan wiskundige kennis (bewezen eigenschappen). Ook zijn er een flink aantal "speciale" soorten van simpele graaf geïdentificeerd.

Graafcomponenten en de samenhangende graaf

Binnen een simpele graaf is een component een aantal knopen van de graaf die onderling allemaal verbonden zijn:

Een component C van graaf G is met

De boom

Een samenhangende graaf zonder cykels heet een boom. Dit omdat een dergelijke graaf in een tekening vaak een beetje op een boom lijkt. De volgende graaf is bijvoorbeeld een boom:

Een boom heeft één kant minder dan hij knopen heeft.

Stelling: Een boom met verzameling knopen heeft kanten
Bewijs:

1. Het kunnen niet minder dan kanten zijn:
   Stel, ik heb een stel knopen. Daarvan kan op de volgende wijze een steeds grotere boom maken, totdat de knopen op zijn:
   - Neem ik één knoop, dan is dat een boom (lussen mogen niet in simpele grafen!) met één kant minder dan er knopen zijn
   - Doe ik er één knoop bij en trek ik een kant van die knoop naar een knoop die er al was, dan heb ik één knoop toegevoegd en één kant -- zonder cykels te maken. Dus ik heb nog steeds een boom met één kant minder dan er knopen in zitten.
2. Heb ik meer dan kanten, dan heb ik een cykel in mijn graaf zitten:
   Stel, ik heb een boom met kanten. Dan heb ik vanuit elke knoop een pad lopen naar de eerste knoop die ik in de boom gestopt heb (zie constructie van de boom in vorige stap). Voeg ik tussen enige twee knopen een kant toe, dan kan ik vanuit één van die knopen naar de eerste knoop naar de ander knoop en weer terug naar de knoop waar ik begonnen ben.

Het is bij algoritmes op bomen vaak handig (en ook gebruikelijk) om een knoop in de boom aan te wijzen en zeze een speciale status binnen de boom te geven (vaak wordt deze knoop geziet als het "begin" van de boom). Deze knoop wordt dan de wortel van de boom genoemd.

Een niet-samenhangende graaf waarvan alle componenten op zich bomen zijn, heet een bos.

De complete graaf

De complete graaf op N knopen (afgekort tot ) is de graaf waarin alle punten onderling verbonden zijn.

met

een verzameling knopen en

De cykel-graaf

De cykel-graaf op N knopen () is de simpele, samenhangende graaf met N knopen waarbij iedere knoop verbonden is met twee andere. Een dergelijke graaf heeft altijd de vorm van een cirkel en bevat dus ook altijd een cykel ter grootte van de gehele graaf.

Stelling: Het aantal kanten van een cykel-graaf op N knopen is N.
Bewijs: Door constructie: Begin met het maken van een cykel-graaf; neem daartoe een punt. Voeg een volgend punt toe en verbind dit nieuwe punt met het laatste door een kant. Ga zo verder -- je krijgt een keten van N knopen met N-1 kanten. Verbind nu de laatste knoop met de eerste om de cykel te sluiten: N kanten.
Uit definitie: Een samenhangende rij van N knopen is een boom en bevat dus N-1 kanten. De extra kant erbij maakt een cykel.

Er is ook een variant op de -graaf, namelijk de -graaf (k + l = N). Dit is de graaf met een cykel ter grootte l, waar ook nog een losse "sliert" van k knopen aan hangt.

De Euler-graaf en de Hamilton-graaf

De Euler-graaf is een speciaal soort graaf die geïdentificeerd is door de wiskundige Leonhard Euler naar aanleiding van zijn oplossing van het probleem van de Zeven bruggen van Königsberg. Dit probleem komt neer op de vraag of het mogelijk is in een samenhangende graaf een wandeling te maken waarin alle kanten van de graaf precies één keer voorkomen (een zogeheten Euler-wandeling) of zelfs een dergelijke wandeling te maken zodat deze begint en eindigt in dezelfde knoop (Euler-cykel).

In 1736 loste Euler dit probleem op en bewees dat de oplossing heel simpel is:

Stelling: een simpele, samenhangende graaf bevat een Euler-cykel dan en slechts dan als de graad van alle knopen even is.
Bewijs:
"": Als een graaf een Euler-cykel bevat, dan is er dus een wandeling van iedere knoop in de graaf naar diezelfde knoop waarin alle kanten van de graaf voorkomen. In een simpele graaf kan het niet anders dan dat in een dergelijke wandeling ook alle knopen voorkomen: een kant moet tussen twee knopen lopen. Verder is het ook nog zo, dat je in die wandeling bij iedere knoop waar je "aankomt" ook weer "weggaat" (in omgekeerde volgorde bij het beginpunt, uiteraard). Omdat je in een Euler-cykel iedere kant maar één keer mag gebruiken, betekent dat dat er bij iedere knoop, voor iedere "inkomende" kant ook een "uitgaande" kant moet zijn. Dus het aantal kanten waarmee een knoop incident is, is in een Euler-graaf altijd een veelvoud van twee, oftewel de graad van al de knopen is even.
"":
Algemene opmerking: Stel, je hebt twee gesloten wandelingen (d.w.z. cykels), allebei zonder dubbel gebruikte kanten, die niet een kant maar wel een knoop k gemeen hebben. Die kunnen we aan elkaar plakken tot een nieuwe wandeling: start de eerste wandeling in k, maak hem af en ga dan verder met de volgende (die weer eindigt in k).
Goed, stel nu dat in een simpele, samenhangende graaf alle knopen even graad hebben. In deze graaf kan ik een cykel maken zonder dubbele kanten: ik kies een knoop en begin over kanten te lopen totdat ik niet verder kan. Ik ben nu weer terug waar ik begonnen ben (alle knopen hebben even graad, dus de enige knoop die tijdens mijn wandeling een ongebruikte "ingang"-kant heeft en geen ongebruikte "uitgang"-kanten is die knoop waar ik begonnen ben). De kanten die ik in mijn cykel gebruikt heb, haal ik nu weg. Dan herhaal ik dit proces, totdat alle kanten op zijn. Nu heb ik een aantal losse, gesloten wandelingen die geen kanten, maar wel een aantal punten gemeen hebben. Op de manier van de algemene opmerking boven, plak ik nu al mijn wandelingen aan elkaar -- ik heb nu de graaf terug waar ik mee begonnen was, en een Euler-cykel die ik erin gemaakt heb.

De - en -grafen bevatten beide Euler-cykels	De graaf die het probleem van de zeven bruggen voorstelt, bevat duidelijk geen Euler-cykel

Met de kennis van wat er nodig is om een Euler-cykel te hebben, is het volgende makkelijk in te zien:

Stelling: een simpele, samenhangende graaf bevat een Euler-wandeling dan en slechts dan als de graad van alle knopen behalve twee even is.
Bewijs:
"": Een Euler-wandeling is in feite een Euler-cykel met een ontbrekende kant. Neem ik nu de Euler-wandeling in mijn graaf en plaats ik een fictieve kant tussen de begin- en eindknoop, dan heb ik een Euler-cykel -- waarin de graad van alle knopen dus even is. Haal ik nu mijn fictieve kant weg, dan trek ik één af van de graad van de begin- en eindknoop. Hun graden worden dan oneven, de graad van de rest van de knopen blijft gelijk.
"": Zoek de twee knopen met oneven graad, trek er een fictieve kant tussen. Nu zijn de graden van alle knopen even, dus is er een Euler-cykel. Haal de fictieve kant weer weg -- een Euler-cykel minus één kant is een Euler-wandeling.

Naast de Euler-cykel en -wandeling is er nog een variant: de cykel en wandeling waarin iedere knoop één keer voorkomt. Dit zijn de Hamilton-cykel en Hamilton-wandeling (in de Hamilton-graaf, uiteraard). Deze variant is bedacht door William Hamilton, maar ze is niet zo makkelijk te doorgronden als de Euler-graaf. De wiskundige Ore bewees wel de volgende stelling:

"G bevat een Hamilton-cykel"

Over het algemeen is het vinden van een Hamilton-cykel in een graaf echter een NP-compleet probleem.

Het probleem van de Hamilton-cykel wordt vaak verward met het handelsreizigersprobleem. Deze problemen lijken op elkaar -- bij het Hamilton-probleem is het echter niet noodzakelijk zo dat de graaf compleet moet zijn.

De planaire graaf

Planaire of vlakke grafen zijn grafen die je op een plat vlak kunt tekenen, zonder daarbij de kanten van de graaf elkaar te laten snijden.

De -graaf is planair; de -graaf niet

Dergelijke grafen zijn van belang bij de modellering van zaken als pijpleidingen en printplaten voor elektronica (waar de verbindingen natuurlijk geen kortsluiting mogen maken). Wat dat eerste betreft zijn planaire grafen dan ook bij het grotere publiek bekend in de vorm van puzzeltjes zoals "probeer drie huizen aan te sluiten op de gas-, water- en elektra-bronnen, zonder dat enige van de leidingen elkaar snijden". Dit is in feite de vraag of planair is.

Ook bij planaire grafen heeft Leonhard Euler een flinke vinger in de pap en wel met zijn Stelling van Euler. Deze stelling is gebaseerd op het aantal knopen, kant en gebieden van een graaf -- waarbij een gebied het stuk papier is waarop de graaf getekend is, of een stuk van dat papier dat geheel door kanten van de graaf omgeven wordt (als er een cykel in de graaf zit). Technisch gesproken hangt het aantal gebieden af van hoe je de graaf precies tekent, maar het blijkt dat je een bepaalde graaf altijd met een bepaald aantal gebieden kunt tekenen, dat niet verandert hoe je de graaf ook precies tekent -- tenzij je vals speelt en de graaf niet-planair tekent.

Stelling van Euler: Zij G een samenhangende, planaire graaf met v knopen, e kanten en f gebieden. Dan geldt

BASIS: (de graaf is een boom)
De graaf G bevat geen cykels; het aantal gebieden is dus 1. , dus .

STAP: Neem aan dat voor geldt dat voor alle vlakke grafen met v-e+f=2 hebben. We moeten bewijzen dat voor een willekeurige vlakke graaf met hetzelfde geldt.
De graaf bevat nu een cykel. Deze cykel scheidt een apart gebied af. Verwijderen we nu een kant uit de cykel, dan hebben we een graaf met een kant en een gebied minder. Als we het aantal knopen, kanten en gebieden in deze graaf v', e' en f' noemen, geldt , en dus vanwege de inductiehypothese. Hieruit kunnen we afleiden dat , wat precies is wat we moesten bewijzen.

Met de Stelling van Euler kunnen we laten zien dat een samenhangende graaf alleen planair kan zijn als hij niet al te veel kanten heeft.

Stelling: Zij G een samenhangende, planaire graaf met v knopen en e kanten en . Dan geldt . Bewijs: Het idee achter de stelling is dat er een relatie is tussen het aantal kanten in G en het soort van gebieden waarin G het vlak verdeelt. In een planaire muur fungeert iedere kant als "binnenmuur" en als "buitenmuur" van een (afgesloten) gebied -- de "buitenkant" van de graaf telt als één groot gebied. Tellen we alle binnen- en buitenmuren, dan komen we aan 2e (iedere kant tel je zo twee keer. Verder is het zo dat ieder gebied afgezonderd door de graaf een bepaalde vorm heeft: driehoek, vierhoek, vijfhoek, etc. Iedere n-hoek heeft dan n binnenmuren. Noemen we het aantal driehoekige gebieden , het aantal vierhoekige , het aantal vijfhoekige enzovoorts, dan kunnen we het aantal muren ook op een andere manier tellen: . Oftewel

Met deze informatie in de hand, kunnen we zo narekenen dat bijvoorbeeld niet planair is.

Op een soortgelijke manier als hierboven, kunnen we ook bewijzen voor samenhangende, planaire grafen zonder driehoeken (dus het "kleinste" gebied is een vierhoek) dat . Hiermee is ook het puzzeltje opgelost: is niet planair.

Een opmerkelijke en nuttige stelling is die van Kuratowski: een graaf is planair dan en slechts dan als hij niet of bevat. Oftewel, alleen die twee grafen zijn in feite niet-planair.

De bipartiete graaf

Een bipartiete graaf G is een graaf zodanig dat

De Kliek

Een kliek is een deelverzameling punten uit een puntenverzameling V, zo dat elk punt in de deelverzameling verbonden is met alle andere punten in die verzameling, ze vormen samen met de lijnen waaraan ze incident zijn dus een volledige graaf.

De Petersen-graaf

De volgende graaf staat bekend als de Petersen-graaf, gedefinieerd door de Deense wiskundige Petersen:

Op zich is er niets speciaals mee aan de hand; de Petersen-graaf komt echter binnen de grafentheorie vaak voor, hetzij als voorbeeld bij bewijzen danwel als tegenvoorbeeld opm stellingen mee te ontkrachten. De Petersen-graaf wordt dan vaak gebruikt als deelgraaf van een andere, meer complexe graaf.

Overigens is de Petersen-graaf ook een voorbeeld van een graaf die bevat: als we de buitenste "ring" van knopen en de binnenste "ring" samentrekken, vinden we de -graaf. We kunnen dan ook duidelijk zien dat de Petersen-graaf niet planair is.

Graafoperaties, de 2-graaf en geïnduceerde grafen

UItgaande van een graaf G (of een aantal verschillende grafen) kunnen we, via allerlei operaties, andere grafen maken.

Om te beginnen is er de op G geïnduceerde graaf G'. Deze graaf is als volgt gedefinieerd:

de op geïnduceerde graaf is een paar met

Gerichte grafen

Een type graaf die naast de simpele graaf vaak voorkomt, is de gerichte graaf. Formeel is een gerichte graaf een graaf G met

V een verzameling knopen ()

E een verzameling kanten:

Enige verschillen ten opzichte van simpele grafen

Er zijn een aantal typische dingen die anders zijn in gerichte grafen in vergelijking met simpele grafen. Bijvoorbeeld heeft het concept graad een heel andere betekenis. Was de graad van een knoop in een simpele graaf het aantal kanten waarmee de knoop incident was, in een gerichte graaf verliest deze definitie zijn betekenis. In plaats daarvan kennen we de

• ingraad van een knoop k: het aantal kanten
• uitgraad van een knoop k: het aantal kanten

Gelabelde en gewogen grafen

Een andere uitbreiding op de simpele graaf die vaak voorkomt is die van labeling. Hierbij wordt de graaf G uitgebreid met één of twee functies f en g:

Als de beeld-verzameling een verzameling van getallen is ( etc.), dan noemen we de labeling ook wel een weging. De graaf heet dan een gewogen graaf. Een gewogen, gerichte graaf wordt ook wel een netwerk genoemd.

Labeling (en met name weging) wordt gebruikt om aan een graaf speciale betekenissen toe te kennen. Wordt een graaf gebruikt als model voor een wegennet bij routeplanning, dan kan bij een weging bijvoorbeeld gedacht worden aan de lengte van de weg, of de drukte. Optimaliseringsproblemen op grafen gebruiken meestal weging als criterium aan de hand waarvan geoptimaliseerd wordt.

Stelling : Het aantal gelabelde bomen op v knopen is
Bewijs : Het bewijs volgt uit de codering van H. Prüfer van knoop-gelabelde bomen.
Deze constructie werkt als volgt:

• Van knoopgelabelde boom met v knopen naar Prüferrij ter lengte v-2: Kies het blad (knoop met graad 1) van de boom met het laagste label. Verwijder deze knoop en noteer het label van zijn buur. Ga zo door totdat er maar twee knopen over zijn en verwijder deze gewoon. Nu heb je een Prüferrij ter lengte v-2, door steeds bladeren te verwijderen naar volgorde van grootte.

• Van Prüferrij ter lengte v-2 naar knoopgelabelde boom met v knopen: Merk om te beginnen op dat een element van de Prüferrij een buur is van een andere knoop in de boom. Alleen labels van bladeren in de nog op te bouwen (deel)boom staan dus niet in de rij. Schrijf nu alle getallen 1, 2, ..., v op. Kies uit dit rijtje het laagste element dat niet in de Prüferrij staat. Verbindt dit element met het eerste element van de Prüferrij en streep beide weg. Herhaal dit totdat de Prüferrij leeg is. Er staan nu nog twee getallen in de rij -- verbindt deze twee in de boom. Nu heb je een boom opgebouwd met v knopen, door steeds laderen toe te voegen naar volgorde van grootte.

Iedere boom op v knopen kan dus eenduidig gecodeerd worden als een rij van lengte v-2. Ieder van deze elementen kan ieder element zijn uit de verzameling . Dat zijn dus mogelijke combinaties.

Problemen op Grafen

• Kleuren van grafen: de vierkleurenstelling

• Routeproblen:
  • Zeven bruggen van Königsberg
  • Minimaal opspannende boom
  • Kortste padprobleem
  • Chinese postbodeprobleem
  • Handelsreizigersprobleem

• Stromen:
  • Max-flow min-cut stelling