Oorsprong
Het woord ‘functio’ wordt voor het eerst gebruikt door Leibniz in 1673 in zijn manuscript “Methodus tangentium inversa, seu de functionibus” en is afgeleid van het Latijnse werkwoord fungor (ik voer een taak uit). Leibniz beschouwt een functie als een grootheid verbonden met een kromme, die ten opzichte van de kromme een bepaalde taak uitvoert, ofwel, een ‘wiskundige taak’.
In 1718 definieert de van oorsprong Zwitserse wiskundige Johann Bernoulli een functie als: "[On appelle fonction] d'une grandeur variable une quantité composée de quelque manière que ce soit de cette grandeur variable et de constantes." en maakt hij gebruik van een notatie voor een functie waarbij hij X schrijft voor een grootheid die van x afhankelijk is, en daarnaast nog een nummer boven de X indien er sprake is van meer variabelen die van x afhankelijk zijn.
De definitie van Euler uit 1748 stelt: "Eine Function einer veränderlichen Zahlgrösse ist ein analytischer Ausdruck, der auf irgend eine Weise aus der veränderlichen Zahlgrösse und aus eigentlichen Zahlen oder aus constanten Zahlgröossen zusammengestellt ist.". En deze verschilt dus niet wezenlijk van die van Bernoulli uit 1718. Echter, de definitie die Euler in 1755 aan het begrip functie geeft, verschilt vrijwel compleet. Hij schrijft:
"If some quantities so depend on other quantities that if the latter are changed the for- mer undergo change, then the former quantities are called functions of the latter. This denomination is of broadest nature and comprises every method by means of which one quantity could be determined by others. If therefore, x denotes a variable quantity, then all quantities which depend upon x in any way or are determined by it are called functions of it."
De moderne, formele definitie van een functie hebben we te danken aan Dirichlet en dateert uit de 19e eeuw.
Definitie
Een functie van A naar B kan worden beschouwd als een ‘machientje’ dat aan ieder element van A een uniek element van B koppelt. Zo transformeert bijvoorbeeld de functie f : R\\{0} → R\\{0}, gegeven door het voorschrift f(x)=x-1, ieder getal behalve 0 naar zijn multiplicatieve inverse.
Formeel zijn functies (ook wel transformaties/afbeeldingen genoemd) een aparte klasse van relaties en deze zijn een generalisatie van de definitie van functie zoals men die meestal in de analyse (calculus) gebruikt.
Definitie: een functie van X naar Y (genoteerd als: f:X→Y) is een relatie tussen X en Y die voldoet aan de voorwaarden:
- (i) f is functioneel: als x ∈ X f-gerelateerd is aan y ∈ Y en x is f-gerelateerd aan z, dan is y=z. Ofwel, voor ieder element uit X bestaat het beeld f[x] uit slechts 1 element. Dit unieke element wordt aangeduid als f(x) en noemen we de functiewaarde.
- (ii) f is totaal: ∀ x ∈ X bestaat er een y ∈ Y zodat xfy (x is f-gerelateerd aan y) (xfy = (x,y) ∈ f ). Formeel ∀x∈X ∃y∈Y xfy .
De set van invoervariabelen X wordt de definitieverzameling of het domein van f genoemd (soms genoteerd als def(f)). De set uitvoervariabelen Y noemt men het bereik of het codomein van f. Als W ⊂ X dan heet f[W] = {f(x)|x ∈ W} het beeld van W onder f.
Voorbeelden en tegenvoorbeelden
Neem A={1,2,3} en B={a,b,c} en bekijk de volgende relaties (deelverzamelingen van het Cartesisch product A×B).
