Fourieranalyse werd uitgewerkt door de Franse wis- en natuurkundige Jean-Baptiste Joseph Fourier. Het is een methode om elke periodieke kromme (een sinusgolf, driehoeksgolf, blokgolf, enz.) te beschrijven als een oneindige som van sinus- en cosinusgolven met elk een frequentie gelijk aan een geheel veelvoud van de frequentie van de oorspronkelijke kromme (de grondfrequentie).

Als f de frequentie is van de kromme (de periode T= 1/f) dan is de Fouriervergelijking:

f(t) = A0/2 + A1.cos(ft) + A2.cos(2ft) + A3.cos(3ft) + ..... + B1.sin(ft) + B2.sin(2ft) + B3.sin(3ft) + .....
 

Met de Fourieranalyse kunnen problemen in zowat alle domeinen van de techniek worden opgelost: mechanica, elektronica, digitale signaalverwerking, enz. Opmerkelijk is misschien dat de Fourier-analyse evengoed gebruikt kan worden voor de bestudering van signalen als van systemen (op voorwaarde dat die systemen lineair zijn en tijd-invariant).

Het menselijk oor bevat een biologisch apparaat voor spectraalanalyse: het basilaire membraan. Met onze spraak voeren wij mensen -misschien onopgemerkt- een heleboel ingewikkelde en verfijnde spectraalanalyses en -syntheses uit (.... spieren, keel, neus, mondholte... verplaatsen dit! of weg ermee, ik dwaal af....!

In de wiskunde is de Fourieranalyse een specifiek geval van een algemene principes: lineaire transformaties en harmonische analyse. Er bestaan nog een aantal andere, met Fourier vergelijkbare, transformaties: De Laplace-transformatie, s-transformatie, z-transformatie, wavelet-transform, etc.

Specifiekere uitwerkingen -toepassingen- van de Fourieranalyse zijn de DFT (Discrete Fourier Transform) en de FFT (Fast Fourier Transform).

Werking

Elke willekeurige golfvorm, mits periodiek, kan worden ontrafeld in een aantal harmonisch gerelateerde sinusgolven, elk met een eigen fase en amplitude. Alle frequenties staan vast zodra de grondfrequentie is gegeven (harmonisch betekent dat ze zich verhouden als 1:2:3:4:...), gemeten worden alle fases en amplitudes. Die 2 hangen dusdanig van elkaar af dat ze niet afzonderlijk gemeten kunnen worden. Fase en amplitude worden indirect gemeten door het te analyseren signaal met zowel een sinusgolf, als een iets in de tijd verschoven copie daarvan (in dit geval een cosinus) te vermenigvuldigen. Zo wordt gergandeerd dat de aanwezigheid van een bepaalde frequentiecomponent altijd zal worden gedetecteerd.

In de praktijk wordt slechts een eindig aantal harmonischen gemeten, gedurende een eindig stukje tijd.

Om erachter te komen of een bepaalde frequentiecomponent in een signaal aanwezig is, vermenigvuldigt men dat signaal met die welbepaalde frequentie en men telt alles bij elkaar op (iets preciezer gezegd: men integreert het product naar tijd). Als men dat lang genoeg doet, is de som een maat voor de energie-inhoud bij die bepaalde frequentie. Als er nul uitkomt, zat hij niet in het signaal, maar als de som negatief of positief uitvalt, zat hij er wel in. Maar, je kunt pech hebben: als de toch in het signaal aanwezige frequentiecomponent toevallig precies in tegenfase is met onze meting, dooft ie onze meter uit! Door nu zowel met een sinus-, als een cosinusgolf te vermenigvuldigen (vervolgens integreren en de twee sommen kwadratisch bij elkaar op te tellen en tot slot de vierkantswortel eruit te trekken) krijgen we een maat voor de energie ?/? vermogen van die ene frequentiecomponent in het stukje geanalyseerd signaal. De volgende 2 inzichten zijn in dit verhaal essentiëel:

1. Als een wisselsignaal, dat afwisselend positief dan weer negatief is, maar lang genoeg bij zichzelf wordt opgeteld (c.q. men integreert naar tijd) komt er nul uit!
2. Als een sinusgolf, die rond de nul beweegt, met zichzelf wordt vermenigvuldigd (c.q. men kwadrateert), geeft dat behalve een frequentieverdubbeling ook een verschuiving naar boven (DC-shift): de integraal valt nu positief uit, niet nul!

Nou, met wat plaatjes erbij is dit toch in ieder geval een beginnetje van een soort uitleg?...

(wave-generator, muliplier, integrator -opstelling ?? voor continuous time ??)

... plaatjes ...

Met betrekking tot geluid betekend dit dat elke toon (een periodiek verschijnsel) is opgebouwd uit een grondtoon en (al of niet aanwezige) boventonen.
Bij klankbewerking wordt veelvuldig gebruik gemaakt van ééndimensionale Fourier analyse en synthese. Bij beeldbewerking gebruikt men zelfs twee dimensionale Fourier analyse en synthese.

• Fourier-synthese.