Euclides was een Griekse wiskundige uit de 3e eeuw voor Christus. Zijn meest bekende werk is de Elementen, een boek waarin hij de eigenschappen van geometrische vormen en integers (gehele getallen) afleidt uit een verzameling axioma's; hij wordt daarom wel beschouwd als een voorloper van de axiomatische methode in de moderne wiskunde. Veel van de resultaten in de Elementen zijn afkomstig van eerdere wiskundigen, Euclides' belangrijke prestatie was om ze allemaal in één coherent logisch raamwerk te verbinden. Zijn vijfde postulaat, bekend als het parallelenaxioma, stelt dat voor elk punt niet op een lijn er precies een unieke lijn is dat door dat punt gaat zonder de lijn te snijden. Lang is er geprobeerd dit axioma, dat veel complexer en minder zelf-evident is dan de andere, te bewijzen, maar in de 19e eeuw realiseerden Janos Bolyai en waarschijnlijk ook Carl Friedrich Gauss zich dat het verwerpen van dit postulaat leidt tot volledig consistente niet-euclidische meetkundes, welke verder werden ontwikkeld door Nikolai Ivanovich Lobachevsky en Bernhard Riemann.
Naast meetkunde behandelt de Elementen ook elementaire getaltheorie, zoals de theorie van deelbaarheid, de grootste gemene deler en het algoritme van Euclides om het vast te stellen, en een bewijs van de oneindigheid van de priemgetallen.
Tot in de 20e eeuw werden de Elementen gebruikt als een tekstboek op het gebied van de meetkunde, maar Euclides' methodologie komt toch tekort ten opzichte van de huidige standaard van wiskundige precisie, omdat een aantal logische axioma's ontbreekt. De moderne axiomatische behandeling van de meetkunde gaat terug op David Hilbert in 1899.
Inhoud van de 13 boeken van de Elementen:
- I: congruentie van driehoeken, eigenschappen van evenwijdige lijnen en oppervlakte eigenschappen van driehoeken en parallellograms.
- II: vergelijkingen geassocieerd aan vierkanten, rechthoeken en driehoeken.
- III: basiseigenschappen van cirkels.
- IV: constructie van veelvlakken in cirkels (Pythagoras)
- V: algemene theorie van verhoudingen (Eudoxus)
- VI: gelijkvormigheid van vlakke figuren
- VII: grootste gemene deler, kleinste gemeen veelvoud, priemgetallen,...
- VIII: stellingen omtrent kwadraten en derdemachten
- IX: ontleding in priemgetallen, bestaan van oneindig veel priemgetallen (stelling van Euclides) en studie van perfecte getallen (gelijk aan de som van zijn delers)
- X: studie van irrationele lijnen
- XI: veelvlakken in de ruimte
- XII: stelling omtrent de verhoudingen van cirkels, bollen en formules voor berekening van de inhoud
- XIII: constructie van ingeschreven veelvlakken in een gegeven bol.
