Complex getal

Complex getal

Een complex getal is een getal dat uit twee delen bestaat: een reëel deel en een imaginair deel. Rafael Bombelli (1526-1572) wordt beschouwd als de ontdekker van de imaginaire getallen. Hij stelde ook de rekenregels op voor complexe getallen.

Complexe getallen doen in het begin misschien wat vreemd en fantastisch aan maar ze zijn eigenlijk niet anders dan de welbekende getallenparen. Echter, door de speciale rekenregels die ervoor gelden, zijn ze bijzonder nuttig voor onder meer het bestuderen golfverschijnselen.

Net zoals getallenparen getekend kunnen worden als punten in een vlak, kunnen complexe getallen makkelijk getekend worden in het zogenaamde complexe vlak. Hier heten de assen echter niet x en y voor respectievelijk horizontaal en verticaal, maar reëel en imaginair. De imaginaire as staat loodrecht op de reële as. Een complex getal is dus niets meer en niets minder dan een punt in een vlak.

Table of contents

1 Reële deel
2 Imaginair deel
3 Cartesische notatie
4 Polaire notatie
5 Optellen en aftrekken
6 Vermenigvuldigen en delen
7 Toepassingen
8 Moeilijkheden bij het rekenen met complexe getallen
9 Complexe getallen in software

9.1 Rekenbladen
9.2 Talen voor numerieke bewerkingen
9.3 Programmeertaal Scheme
9.4 Bibliotheek in C++

Reële deel

Een reëel getal.

Imaginair deel

Een imaginair getal. Dat is een reëel getal maal i, waarbij i staat voor de imaginaire eenheid. Deze is als volgt gedefiniëeerd:

i² = - 1

Sommigen definiëren i als de wortel uit -1. Dat lijkt een geldig alternatief, maar dat is het niet: -1 heeft in de complexe rekenkunde namelijk twee wortels: +i en -i (beiden leveren -1 bij kwadrateren).

In de elektronica wordt meestal het symbool j gebruikt, om verwarring met het symbool voor stroom I te vermijden.

Cartesische notatie

Men noteert simpelweg het reële deel en imaginair deel maal i, met een plusteken ertussen. Bijvoorbeeld 3 + 2i is een complex getal, waarvan het reële deel 3 bedraagt, en het imaginaire deel 2. Net zoals met appels en peren, men kan ze best bij elkaar optellen, maar de uitdrukking kan niet verder worden vereenvoudigd zolang niet één van beide delen nul is: het plusteken blijft er tussenin staan.

Het woord Cartesisch komt van de wiskunige en filosoof René Descartes. Hij introduceerde het Cartesische coördinatenstelsel, waarbij een punt in een vlak wordt voorgesteld door een getallenpaar.

Polaire notatie

In de polaire notatie worden van een complex getal de absolute waarde (afstand tot de 0) r en de hoek tussen het getal en de positief-reële as θ gemeten. Het getal is dan gelijk aan r.e^θi. De polaire en de Cartesische notatie zijn verbonden via . In het bijzonder geldt de formule van Euler .

Verband tussen polaire en carthesische notatie

Optellen en aftrekken

Het optellen en aftrekken van complexe getallen gaat het makkelijkst in Cartesische vorm: Het reële deel en het imaginaire deel worden apart opgeteld.

Bijvoorbeeld:

Vermenigvuldigen en delen

Vermenigvuldigen en delen van complexe getallen gaat het makkelijkst in polaire vorm. Hierbij wordt de absolute waarde vermenigvuldigd en de hoek opgeteld. Voor getallen in Cartesische vorm geldt

Daarbij is gebruik gemaakt van de definitie i² = - 1, en verschijnt in de laatste term het - teken.

Toepassingen

Signaalbewerking, Fourier analyse, linaire transformaties, lineaire differentiaalvergelijkingen, differentievergelijkingen, digitale geluids- en beeldbewerking, telecommunicatie.

Moeilijkheden bij het rekenen met complexe getallen

Bij de definitie van i hierboven, is de uitdrukking i = wortel(-1) doelbewust vermeden, ze mag misschien wel waar zijn, maar -i is ook een wortel uit -1. Daarom is alleen i² = -1 bruikbaar als een definitie voor i. Men moet overigens enorm oppassen met complexe wortels. Het volgende is bijvoorbeeld niet waar:

De waarheid is

Ook bij het omzetten van Cartesische naar polaire notatie kan het misgaan: Zakrekenmachines en computertalen geven bij aanroep van arctangens vaak een resultaat tussen -pi en +pi, terwijl het complexe getal wel degelijk in het 3de of 4de kwadrant kan liggen.

Complexe getallen in software

Rekenbladen

Een bekend rekenblad als Microsoft Excel maakt het gemakkelijk om met complexe getallen te rekenen. Een complex getal kan eenvoudig als een string, bijvoorbeeld '2+3i ingebracht worden. Er is een volledige serie functies beschikbaar om met deze grootheden te rekenen, bijvoorbeeld:

Optellen =IMSUM(x,y)
Vermenigvuldigen =IMPRODUCT(x,y)

Het gebruik van rekenbladen vergemakkelijkt daarmee het aanleren van complexe wiskunde aanzienlijk.

Talen voor numerieke bewerkingen

Talen als MATLAB, GNU Octave laten de gebruiker op een natuurlijke manier met complexe getallen werken.

> (2 + 3i) * (4 + 5i) ans =  -7 + 22i

Programmeertaal Scheme

Bij Scheme staan complexe getallen helemaal bovenaan de numerieke toren. Rekenkundige bewerkingen op complexe getallen zijn gedefinieerd voor de meeste functies.

Bibliotheek in C++

Ook in de programmeertaal C++ is er een standaardbibliotheek voor het rekenen met complexe getallen. (Zie headerfile complex.h. De Unix-gebruiker kan man complex typen om meer over de C++-implementatie te lezen.) Dit is overigens een van de meest overtuigende schone voorbeelden van operator-overloading in C++: de programmeur kan de vertrouwde +, -, * en / blijven gebruiken in expressies.

Verder is er in C en C++ de handige functie atan2() die een resultaat in alle vier de kwadranten kan opleveren. (Merk op dat de gebruikelijke arctangens functie op rekenmachines en computers, atan(), niet altijd uit zichzelf de juiste hoek oplevert!)