Table of contents

1 Prehistorie van de Calculus 2 Newton (1642-1727) 2.1 Differentiëren 2.2 Integreren 3 Korte biografie van Leibniz 3.3 Sommen en verschillen 3.4 Ontwikkeling van de calculus 3.5 De eerste publicatie van de calculus 3.6 Differentiaalvergelijkingen

Prehistorie van de Calculus

De echte ontdekking van de integraal- en differentiaalrekening is gedaan door Newton en Leibniz. Voorgangers van hen hebben zeker tot die ontdekking bijgedragen, daarom eerst in het kort iets over wat er al bekend was over calculus vóór Newton en Leibniz, om te beginnen rond het jaar 1600.

René Descartes (1596-1650) en Pierre de Fermat (1601-1665) zijn twee Fransen die een enorme bijdrage hebben geleverd aan het ontstaan van de calculus. Ze hebben namelijk, onafhankelijk en ongeveer gelijktijdig, de analytische meetkunde bedacht. Beiden legden het verband tussen vergelijkingenen en krommen van punten die aan die vergelijkingen voldoen, op de inmiddels bekende manier: met coördinaten. Aardig om te noemen is het verschil in benadering: Fermat ging altijd uit van een kromme, gegeven door een vergelijking, terwijl Descartes een kromme als een meetkundig object zag, waar hij in sommige gevallen een vergelijking aan kon verbinden. Beide mannen gingen verder met hun werk en beiden hebben ook aan de fundamentele problemen van de calculus gewerkt: het vinden van raaklijnen, oppervlakken en extremen.

Descartes ontwikkelde zijn 'method of normals'. Deze stelde hem in staat de normaal (en dus ook de raaklijn) in een punt aan een kromme te construeren. Het nadeel van zijn methode was dat deze alleen werkte voor krommen waarvan de vergelijking een polynoom was en dat de methode vaak een enorm rekenwerk behoefde.

Fermat hield zich bezig met het vinden van extremen van functies (in de praktijk slechts polynomen). Hij ontwikkelde hiervoor zijn 'method of adequality'. Ook was Fermat in staat de oppervlakte te bepalen onder krommmen van de vorm:

Gaandeweg de 17-de eeuw waren er meer mensen die zich bezighielden met oppervlaktes en raaklijnen en die zo hier en daar wat bijdroegen. Een paar significante voorbeelden hiervan zijn: John Wallis (1616-1703), Nicolaus Mercator (1620-1687) en James Gregory (1638-1675).

Wallis bepaalde de oppervlakte onder een kromme:

Dit is zo'n beetje de staat waarin de calculus verkeert rond 1650. Er waren dus methoden ontwikkeld om in specifieke gevallen oppervlakken en raaklijnen te bepalen. Hier past nog wel de aantekening dat de benadering veel meetkundiger was dan dat wij deze tegenwoordig kennen. Het ging bijv. altijd om het construeren van een raaklijn en niet om het vinden van een richtingscoefficiënt. Een ander belangrijk punt is dat geen van de bovenstaande heren oppervlakte als een functie van de -coordinaat beschouwde. Ze namen meestal de oppervlakte van tot ofzo. Het is daarom niet verwonderlijk dat geen van hen de hoofdstelling van de integraalrekening gevonden heeft. Hiervoor is het immers noodzakelijk de oppervlakte weer als een functie op te vatten en te differentieren. (Barrow, de leraar van Newton, vond deze stelling wel maar zag niet hoe belangrijk deze was.)

Newton (1642-1727)

Isaac Newton werd geboren op 25 december 1642. In 1655 werd hij naar een gymnasium gestuurd waar hij de klassieke talen meester werd en bovendien zelfs wat wiskunde leerde.( Dit was vrij uitzonderlijk in die tijd.) In 1661 ging hij studeren in Cambridge op Trinity College. Newton werd erg vrij gelaten, er was amper een curriculum. Newton las in die tijd in ieder geval 'De Elementen' van Euclides, 'Clavis Mathematicae', een populair boek over rekenen en algebra, 'la Geometrie' van Descartes, het werk van Viete en de 'Arithmetica Infinitorum' van Wallis. In 1664 kreeg Newton een 'AiO-plaats' (Fellow) op Cambridge, in 1667 een 'post-doc positie' en in 1669 werd hij Lucasian professor, een hoogleraarschap dat hij overnam van Barrow.

Wat je uit dit alles kunt opmaken is in ieder geval dat Newton voor zijn tijd uitzonderlijk goed opgeleid was in wiskunde. Hij kende vrijwel alles wat tot dan toe bekend was over wiskunde. Ook is bij het lezen van Newtons collected works te zien dat bij hij reeds in de periode dat hij student is constant nieuwe dingen bedenkt. Hij maakt aantekeningen bij boeken, die de inhoud van de boeken ver overtreffen. Een voorbeeld hiervan zijn de 'Annotations from Wallis' waarin Newton de binomiaalreeks ontdekt bij het lezen van de 'Arithmetica Infinitorum'.

Een van de meest bijzondere dingen aan Newtons wiskundige werk (de man was ook een aardig natuurkundige zoals bekend is) is dat hij er geen letter van publiceerde. Zijn ideeen over calculus moeten zich grotendeels gevormd hebben zo tussen 1660 en 1670, maar de enige manier waarop zijn resultaten bekend werden was via - soms cryptische - brieven en wat wij college dictaten zouden noemen. Veel van zijn manuscripten kwamen in het informele circuit in Engeland terecht. Vooral 2 van deze manuscripten staan hier centraal:

'De analysi per aequationes numero terminorum infinitas', ±1669

('Over analyse met vergelijkingen van oneindig veel termen')

'Tractatus de methodis serierum et fluxionum', ±1671

('Verhandeling over de methoden van reeksen en fluxen')

Voor Newton is calculus vooral toegepaste mechanica. Hij beschouwt zogenaamde fluents die met een bepaalde snelheid veranderen. Die snelheden noemt hij fluxions. Verder is in vrijwel ieder voorbeeld de fluent de positie van een deeltje en de fluxion dus de snelheid. Een fluxion wordt genoteerd met een puntje op de letter van de betreffende fluent. De Tractatus is opgedeeld in problemen, die steeds beantwoord worden en waar vervolgens voorbeelden van gegeven worden. Newton formuleert probleem 1 in de Tractatus als volgt:

Probleem 1 Gegeven een relatie tussen fluents, vind de relatie van de fluxions.

Newton denkt hierbij dus aan een kromme: en hieruit probeert hij een relatie tussen de fluxen te vinden. In onze terminologie gebruikt hij:

Probleem 3 Gegeven een relatie tussen fluents, vind de extreme waarden van de fluents.

Hier geeft Newton het standaard (intuitieve) argument dat in een extreem van bijv. de fluxion van nul is. Hij schrijft de vergelijking op die je krijgt om zo'n extreem te vinden en zegt dat je deze zou kunnen oplossen (maar besteedt daar geen aandacht aan). Opmerkelijk is dat Newton niet zegt hoe je zonder plaatje kunt zien of een extreem een lokaal minimum of maximum is. Waarschijnlijk acht hij dit altijd uit de context duidelijk.

Integreren

In probleem 9 van de Tractatus behandelt Newton wat wij de hoofdstelling van de integraalrekening noemen: integreren en differentieren zijn elkaars inverse.

Probleem 9: het bepalen van de oppervlakte onder elke gegeven kromme.

(Het woord elke in deze titel moet niet te serieus genomen worden.)

De hoofdstelling van de integraalrekening is voor Newton volkomen evident: hij beschouwt een stuk oppervlak als voortgebracht door een bewegende lijn met als lengte de functiewaarde. Het is nu `logisch' dat de snelheid waarmee dat oppervlak groter wordt in een punt gelijk is aan de functiewaarde in dat punt. Newton geeft wel een iets langer argument, maar dat levert niet meer rechtvaardiging dan het bovenstaande.

Chronologisch gezien komt het artikel 'de Analysi' eerder dan de Tractatus. De meeste dingen die in de Analysi behandeld zijn worden in de Tractatus nog een keer behandeld. Echter, Newton voert in de Tractatus een aantal generalisaties door waardoor zijn integreeraanpak niet zo helder is. (Hij richt zich meer op het oplossen van wat algemenere differentiaalvergelijkingen.)

In de Analysi staat een duidelijke handleiding van Newton over hoe primitieven gevonden moet worden. Deze handleiding bestaat uit 3 regels:

2. De integraal van een som van termen van de vorm van regel 1 is de som van de integralen.
3. Elke functie die niet van deze vorm is ontwikkel je in een machtreeks. Integreer deze machtreeks termsgewijs (met regel 2).

Via een elementaire staartdeling vindt Newton:

Het tweede voorbeeld gaat over het trekken van een wortel. Met een algoritme om wortels te trekken (principe: orde voor orde) vindt Newton:

Korte biografie van Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz werd geboren in Leipzig in 1646. Zijn vader, Friedrich Leibnutz, was verbonden aan de filosofiefaculteit van de universiteit van Leipzig. Leibniz, die zijn naam veranderde, was nog maar zes toen zijn vader overleed. Maar op die leeftijd had de jonge Gottfried al een passie ontwikkeld voor lezen en studeren. Hij leerde Latijn en bestudeerde zijn vaders bibliotheek van Latijnse klassiekers, filosofische en religieuze werken.

In 1661, toen Leibniz 15 was, betrad hij de universiteit van Leipzig om filosofie te studeren. In de zomer van 1663 maakte hij kennis met elementaire algebra en Euclidische meetkunde op de universiteit van Jena. Hier begon hij zijn ideeen van een 'alfabet van de menselijke gedachten' te ontwikkelen. Hierin probeerde hij menselijke gedachten vorm te geven door middel van symbolen.

Hij haalde zijn mastergraad in 1664. Zijn dissertatie voor de graad van doctor in de rechten werd geweigerd. Waarschijnlijk vanwege zijn leeftijd, maar misschien ook vanwege politieke problemen. Hierdoor verliet hij Leipzig en kreeg hij deze graad op twintigjarige leeftijd aan de universiteit van Altdorf in Nuremberg.

Hierna kwam hij in dienst van de Elector van Mainz. (Mainz was een van de kleine staatjes waarin Duitsland destijds was opgedeeld.) Gedurende de rest van zijn leven bekleedde hij verscheidene belangrijke posities.

Sommen en verschillen

In 1672 vertrok hij naar Parijs. Op dit moment was zijn wiskundige kennis beperkt tot de meesterwerken van de oude Grieken. Om wiskundig verder te ontwikkelen moest hij leren wat de huidige ontwikkelingen in de wiskunde waren. Het kwam hem daarom goed uit dat hij Christiaan Huygens ontmoette. Huygens stuurde Leibniz in zijn studie in welke eigentijdse problemen hij moest bestuderen. Hij verkreeg ongepubliceerde manuscripten van Blaise Pascal en van Descartes. Huygens vroeg hem de som van de omgekeerde driehoeksgetallen uit te rekenen. Leibniz loste het probleem als volgt op. In de eerste plaats deelde hij de reeks door twee en verkreeg daarmee

Leibniz werd erg handig in het berekenen van oneindige sommen door zijn harmonische driehoek te gebruiken. Dit zegt iets over zijn interesse in sommen en verschillen, die hij later in zijn ontwikkeling van de calculus zou gebruiken. Leibniz wist bijvoorbeeld het volgende. Zij

Ontwikkeling van de calculus

In 1673, bezocht Leibniz Londen. Hij werd als lid van de 'Royal Society' gekozen. Hij bracht zijn model voor een 'rekenmachine' mee. Hier zag hij een aantal van Newtons manuscripten en was erg onder indruk. Later zou dit voor de Britten nog een grote reden vormen om Leibniz van plagiaat te beschuldigen. Het is mogelijk dat hij Newtons 'de Analysi' gezien heeft, maar het is onwaarschijnlijk dat Leibniz hier veel aan heeft gehad, vanwege zijn gebrekkige kennis van de meetkunde en de analyse. Hij praatte met een aantal belangrijke personen, zoals Robert Boyle, Robert Hooke en John Pell. Pell wees Leibniz op zijn gebrekkige wiskundige kennis. Leibniz ging terug naar Parijs om hogere meetkunde te bestuderen met hulp van Huygens. Nog steeds in 1673 ontwikkelt hij zijn algemene methode om hellingen te berekenen. De drie volgende jaren doormaakt Leibniz een enorme wiskundige ontwikkeling en ontwikkelt hij de fundamentele principes van de calculus.

Leibniz' resultaten op het gebied van sommen en verschillen waren niet nieuw. Het feit dat veel van zijn kennis zelf aangeleerd was leidde vaak tot het herontdekken van reeds bestaande wiskunde. Het belangrijke van wat hij deed met sommen en verschillen was dat hij deze begrippen ging bekijken in de meetkunde. Hij bekeek wat sommen en verschillen bij krommes inhielden. Een kromme bekeek hij als een veelhoek met oneindig veel zijdes.

De verschillen werden nu oneindig klein en werden differentialen. Voor het verschil gebruikt hij het symbool (van differentia) en voor de som het symbool , wat een uitgerekte s (van summa) moet voorstellen. Analoog aan de discrete sommen volgt het dat . Maar een oneindige sommatie van eindige termen kan heel goed oneindig zijn, dus vermenigvuldigt Leibniz met en verkrijgt de oneindige kleine oppervlakte , hetgeen wel weer gewoon geïntegreerd kan worden. Merk op dat Leibniz in staat is , of de 'zijde van de veelhoek' constant te kiezen. (Zie voorbeeld verderop in dit artikel.) Omdat hij de calculus vanuit het idee van sommen en verschillen als tegengestelde operaties ontwikkelde, is het gelden van de hoofdstelling van de integraalrekening 'evident'. (Daar is het eigenlijk allemaal mee begonnen.)

De eerste publicatie van de calculus

Leibniz zat een beetje in over zijn gebruik van infinitesimalen. Omdat dit begrip niet goed gedefinieerd was, wist hij dat het veel kritiek op zou leveren. Dus in de eerste publicatie van de calculus introduceert hij als een willekeurige eindig lijnsegment. Hij publiceerde dit artikel in 1684 in de `Acta Eruditorum', een wetenschappelijk tijdschrift waar hij zelf aan meewerkte. Dit artikel draagt de lange titel: 'Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque tangentibus, qua nec fractas, nex irrationales quantitates moratur, et singulare pro illi calculi genus'

Hij begint met het 'definieren' van de symbolen die hij gebruikt. Hij 'definieert' and als lijnsegmenten die hetzelfde quotient hebben als en . Leibniz zegt niet dat deze grootheden infinitesimaal zijn. Vervolgens geeft hij een aantal regels van de calculus, waaronder de productregel en de quotientregel. Hij legt uit wat het inhoud als nul of oneindig is en wat de tweede differentiaal representeert. Hierna vertelt Leibniz dat (als constant wordt gekozen) en geeft een aantal voorbeelden van deze regel, waaronder gebroken en negatieve exponenten.

Hij zegt:

'Het algoritme van deze calculus kennende, wat men differentiaalrekening kan noemen, kunnen alle differentiaalvergelijkingen met dezelfde methode worden opgelost.'

Vervolgens laat hij zien hoe hij met zijn methode de formule kan afleiden voor de breking van licht wanneer het van het ene medium naar het andere gaat. We noemen, net als Leibniz, de scheidingslijn . Vanwege het principe van Fermat, is het doel om het kortste pad in de tijd van naar te vinden. Omdat en bekend zijn, zijn de punten en neergelaten op bekend. Hij noemt het punt waar het licht snijdt, en noemt , , , , en . Omdat in deze situatie de variabele is, berekent hij en in termen van :

Aan het eind van zijn artikel geeft Leibniz nog twee andere voorbeelden van het gebruik van zijn methode. Hieronder ook een oplossing van het probleem dat De Beaune voorstelde aan Descartes. Opnieuw lost Leibniz het probleem met zijn differentiaalrekening zonder veel moeite op.

Hij presenteert het artikel op een opmerkelijke manier. In het begin geeft hij een lijst met regels van zijn differentiaalrekening. Hij bewijst geen van deze regels, omdat hij zijn gebruik van infinitesimalen niet kan rechtvaardigen. In plaats hiervan geeft hij een aantal voorbeelden om te laten zien dat zijn methode werkt en zelfs prettig en gemakkelijk. Hij verkoopt zijn nieuwe techniek door problemen op te lossen die daarvoor nog niet zo gemakkelijk waren op te lossen. In plaats van zijn methode te bewijzen geeft hij een show waarin hij laat zien dat het fantastisch werkt.

Differentiaalvergelijkingen

Net als Newton, was Leibniz meer geinteresseerd in het oplossen van differentiaalvergelijkingen, dan het vinden van oppervlakten in het bijzonder. Een voorbeeld hoe hij de machtreeksontwikkeling van de sinus afleidde: (hiervoor maakt hij gebruik van de differentiaaldriehoek die hij had gezien in Pascal's werk en misschien ook in het werk van Barrow).

De differentiaaldriehoek met zijden , en is gelijkvormig aan de driehoek met zijden , en . Het volgt dat

.