 |
Axioma Een Axioma is een niet te bewijzen, maar als grondslag aanvaarde stelling. Een wiskundig systeem gaat uit van een aantal axioma's en definities, en een aantal logische afleidingsregels. Alle stellingen die men bewijst, dienen via deze logische regels uit de axioma's en definities te volgen. Synoniemen zijn: - grondregel
- grondstelling
- postulaat
Een voorbeeld van een axiomasysteem zijn de axioma's van Peano, die de natuurlijke getallen definiëren: - 0 is een natuurlijk getal
- Elk natuurlijk getal heeft een opvolger
- 0 is niet de opvolger van enig natuurlijk getal
- Verschillende nummers hebben verschillende opvolgers
- Als 0 een bepaalde eigenschap heeft, en bewezen kan worden dat als een getal de eigenschap heeft, zijn opvolger die ook heeft, dan hebben alle natuurlijke getallen die eigenschap
Twee belangrijke vragen over axiomasystemen is of ze correct zijn en of ze volledig zijn. Een axiomasysteem is correct als er geen onware stellingen bewezen kunnen worden, en een axiomasysteem is volledig als alle ware stellingen bewezen kunnen worden. Het bovenstaande axiomasysteem is correct, maar niet volledig - Gödels onvolledigheidsstelling toont aan dat er geen enkel axiomastelsel voor de natuurlijke getallen is, dat zowel correct als volledig is. Bekende axioma's:
|
|
|
