Geschiedenis
De geschiedenis van de wiskundige analyse begon in de 17e eeuw met de vrijwel gelijktijdige uitvinding van de differentiaal- en integraalrekening door Newton en Leibniz. In de 17e en 18e eeuw werden concepten als de variatierekening, gewone en partiële differentiaalvergelijkingen, Fourieranalyse en voortbrengende functies ontwikkeld voor uiteenlopende toepassingen.
Gedurende de achttiende eeuw was de definitie van een functie onderwerp van discussie onder wiskundigen. In de 19e eeuw zorgde Cauchy als eerste voor een formele basis voor de differentiaal- en integraalrekening door zijn introductie van de Cauchyrij. Hij begon ook de formele theorie van de complexe analyse te ontwikkelen. Poisson, Liouville, Fourier en anderen bestudeerden partiële differentiaalvergelijkingen en de harmonische analyse.
Halverwege de 19e eeuw introduceerde Riemann zijn integratietheorie. De analyse kreeg enige jaren later door Weierstrass een rekenkundige in plaats van een meetkundige grondslag door zijn invoering van de ε-δ-definitie van de limiet. Vervolgens begonnen wiskundigen zich zorgen te maken over hun tot dan toe onbewezen aanname van het bestaan van een continuüm van reële getallen. Hierop construeerde Dedekind de reële getallen met behulp van de snede van Dedekind.
Rond dezelfde tijd leidden pogingen om de integratietheorie van Riemann te verfijnen en de ontdekking van monsterlijke objecten (zoals nergens continue functies, overal continue maar nergens differentieerbare functies en ruimtevullende krommen) tot de ontwikkeling van de maattheorie door Jordan. In het begin van de 20e eeuw werd de analyse geformaliseerd met behulp van de verzamelingentheorie. Lebesgue kwam met een verbeterde maattheorie en Hilbert introduceerde Hilbertruimten om integraalvergelijkingen op te lossen. In de jaren '20 van de 20e eeuw ontwikkelde Banach de functionaalanalyse.
Deelgebieden
De wiskundige analyse wordt tegenwoordig onderverdeeld in de volgende deelgebieden:
- Reële analyse, die betrekking heeft op eigenschappen, afgeleiden en integralen van reële functies. Hieronder valt het bestuderen van limieten, machtreeksen en de theorie van maten.
- Functionaalanalyse, die ruimten van functies bestudeert en waarin gebruik gemaakt wordt van onder andere Banach- en Hilbertruimten.
- Harmonische analyse, het bestuderen van Fourierreeksen en generalisaties daarvan.
- Complexe analyse, die zich bezighoudt met functies van het complexe vlak naar zichzelf die complex differentiëeerbaar zijn.
- Niet-standaard analyse, die de hyperreële getallen en functies daarvan bestudeert en een formele definitie geeft van oneindig kleine en oneindig grote getallen.
Economie
In de economie kennen we onder meer de volgende voorbeelden van analyse:
ICT/Informatica
In de Informatie- en Communicatietechnologie en informatica kennen we onder meer de volgende voorbeelden van analyse:
Medische wetenschappen
In de medische wetenschappen kennen we onder meer de volgende voorbeelden van analyse:
Psychologie
In de psychologie kennen we onder meer de volgende voorbeelden van analyse:
