In de wiskunde is de afgeleide (of afgeleide functie) van een functie in een punt de helling van de functie in dat punt. De afgeleide van een functie f wordt vaak genoteerd als f ' ("f-accent") of als . Het concept van een afgeleide werd in de 17e eeuw vrijwel tegelijkertijd door Isaac Newton en Gottfried Leibniz uitgevonden. Laat f: R→R een continue functie zijn. We bekijken een lijn door twee vlak bij elkaar liggende punten op de grafiek van f: het punt (x, f(x)) en het punt (x + Δx, f(x + Δx)). Het verschil tussen de x-coördinaten van deze punten is Δx en het verschil tussen hun y-coördinaten is Δf = Δy = f(x + Δx) - f(x). De helling van de lijn door deze twee punten is
(Hier moet een plaatje komen ter verduidelijking van de uitleg.) Als de limiet van deze uitdrukking voor Δx→0 bestaat, is de afgeleide van f in x gedefinieerd als deze limiet:
Een equivalente definitie, die eenvoudiger gegeneraliseerd kan worden naar functies van meer variabelen, is de volgende: Laat x0 een reëel getal zijn. Als er een reëel getal a en een functie h bestaan zodat voor alle Δx geldt -
en bovendien h(x)/x naar 0 gaat als x→0, dan is a de afgeleide van f in x. Toepassingen
Belangrijke toepassingen vindt de afgeleide in de wiskunde. Zo kan een maximum of minimum van een functie gevonden worden door de afgeleide te bepalen. Indien een functie in een bepaald punt een (lokaal) maximum of een (lokaal) minimum bereikt, is de afgeleide van de functie in dat punt gelijk aan nul (indien de afgeleide bestaat). Om een grafiek van een functie met de hand te tekenen is het daarom zinvol om eerst de eventule maxima en minima te bepalen. Veel toepassingen heeft de afgeleide in de natuurkunde. Zo is bijvoorbeeld de snelheid de afgeleide naar de tijd van de plaats. De versnelling is dan weer de afgeleide van de snelheid.
