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Topología



La topología es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras geométricas o los espacios que no se ven alteradas por transformaciones continuas, biyectivas y de inversa continua (homeomorfismos). Es decir, en topología está permitido doblar, estirar, encoger, retorcer... los objetos pero siempre que se haga sin romper ni separar lo que estaba unido (la transformación debe ser continua) ni pegar lo que estaba separado (la inversa también debe ser continua). Por ejemplo, en topología un triángulo es lo mismo que un cuadrado, ya que podemos transformar uno en otro de forma continua, sin romper ni pegar.

Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento (ya que habría que partirla por algún punto). Un chiste habitual entre los topólogos (los matemáticos que se dedican a la topología) es que «un topólogo es una persona incapaz de distinguir una taza de una rosquilla».

Pocos de los conceptos habituales de la geometría, como «ángulo», «linea recta», «área», ... tienen sentido en topología. Entonces ¿para qué sirve la topología? Observemos la siguiente imagen.

Es un plano del metro de Madrid. Aquí están representadas las estaciones y las líneas de metro que las unen. Pero no es geométricamente exacto. La curvatura de las líneas de metro no coincide, ni su longitud a escala, ni la posición relativa de las estaciones... Pero aun así es un plano perfectamente útil (de hecho, si fuera exacto sería bastante más difícil de utilizar). Sin embargo este plano es exacto en cierto sentido; representa fielmente cierto tipo de información, la única que necesitamos para decidir nuestro camino por la red de metro: información topológica.

La topología, como el resto de las ramas de las matemáticas, se desarrolló durante bastante tiempo sin un nombre ni una definición precisa. La definición anterior está basada en el programa de Erlangen de Felix Klein, que enunció en (fecha), mientras que el término topología fue usado por primera vez por J. B. Listing, en 1836 en una carta a su antiguo profesor de la escuela primaria, Müller, y posteriormente en su libro Vorstudien zur Topologie (Estudios previos a la topología), publicado en 1847. Anteriormente se la denominaba analysis situs. Informalmente se la suele llamar «geometría de la goma elástica», ya que los espacios o figuras se pueden estirar y retorcer como si fueran de goma.

Maurice Fréchet introdujo el concepto de espacio métrico en 1906.

Algunos matematicos dividen su ciencia en 5 ramas: álgebra, geometría, análisis matemático, estadística y topología. En realidad la topología tiene profundas relaciones con las otras ramas y se utiliza a menudo para resolver problemas planteados dentro de ellas, como por el ejemplo el Teorema Fundamental del Álgebra, multitud de problemas sobre límites, teoremas de existencia (por ejemplo el teorema de Picard sobre existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales), etcétera. También tiene aplicaciones a la física, la cosmología, la biología, la meteorología y otras ciencias. Conceptos topologicos: interior, agujero, dimension...

Problemas famosos o curiosos: puentes de Königsberg, teorema de la esfera peluda, algunos teoremas de dimension baja (Christenson-Voxman), estabilidad del sistema solar, hipotesis de Poincaré, clasificacion de superficies (imposibilidad en dimension 4).

Interno/externo: banda de Möbius, toro plano, planilandia.

espacios de dimension infinita, espacios de funciones

Division de la top: general (la basica, se aplica a analisis y estad) algebraica, diferencial, geometrica, de dimension baja...

Homologia, homotopia, teoria de nudos, teoria de la dimension (paradoja de Banach-Tarski, fractales), sistemas dinamicos,

Por ejemplo, una circunferencia divide a un plano que la contiene en dos regiones, una interior y otra exterior a la circunferencia. Un punto exterior no se puede conectar a uno interior con una trayectoria continua en el plano sin cortar a la circunferencia. Si se deforma el plano, éste deja de ser una superficie plana o lisa y la circunferencia se convierte en una curva arrugada; sin embargo, mantiene la propiedad de dividir a la superficie en una región interior y otra exterior. Es evidente que la rectitud y las medidas lineales y angulares son algunas de las propiedades que no se mantienen si el plano se distorsiona.

Ramas

Hay dos clases de topología bien diferenciadas:

  • Topología primitiva:
  • Topología actual:
    • La topología es un campo muy activo de las matemáticas modernas. Un problema famoso de la topología, que sólo ha sido resuelto recientemente, es el determinar el número mínimo de colores distintos necesarios para colorear un mapa corriente de manera que no haya dos regiones limítrofes con el mismo color. En 1976, Kenneth Appel y Wolfgang Haken demostraron, usando un ordenador, que es suficiente con cuatro colores, sin depender del tamaño o del número de regiones.
    • La teoría de nudos es una rama de la topología que tiene todavía muchos problemas por resolver. Un nudo se puede considerar como una curva cerrada sencilla, hecha de goma y que se puede retorcer, alargar o deformar de cualquier forma en un espacio tridimensional, aunque no se puede romper. Dos nudos son equivalentes si se puede deformar uno de ellos para dar el otro; si esto no es posible, los nudos son distintos. Todavía no se ha podido encontrar un conjunto completo de características suficiente para distinguir los distintos tipos de nudos.




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