Número complejo

Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a, b), que verifican las siguientes propiedades:

• (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
• (a, b) · (c, d) = (ac - bd, bc + ad).

Table of contents

1 Geometría: Coordenadas Polares y Rectangulares 2 Valor absoluto, conjugado y distancia 3 Soluciones de ecuaciones polinómicas 4 Análisis Complejo 5 Un poco de historia 6 Aplicaciones 7 Representaciones alternativas de los números complejos

Geometría: Coordenadas Polares y Rectangulares

El número complejo i = (0, 1) lo llamamos unidad imaginaria. Es un número imaginario y satisface la relación:

i² = -1 [recordemos que es lo mismo (-1, 0) y -1].

Geométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender como sigue. Para sumar dos complejos z₁ =a₁ + ib₁ y z₂ = a₂ + ib₂, podemos pensar en ello como la suma de dos vectores del plano x-y apuntando desde el origen al punto (a₁, b₁) and (a₂,b₂), respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sin cambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide con el punto final del primer vector; el segundo vector así ubicado apuntará al complejo z₁ + z₂.

Siguiendo con esta idea, para multiplicar dos complejos z₁ y z₂, primero medimos el ángulo que forman en sentido contrario a las agujas del reloj con el eje positivo de las x y sumamos ambos ángulos: el ángulo resultante corresponde con el del vector que representa al complejo producto z₁ · z₂. La longitud de este vector producto viene dada por la multipicación de las longitudes de los vectores originales. La multiplicación por un número complejo fijo puede ser vista como la una transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente. Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en dirección contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que (-1) · (-1) = +1 puede ser entendido geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º Algunas veces, la representación de números complejos en la forma z = a + i b ("coordenadas rectangulares") es menos conveniente que otra representación, usando coordenadas polares: cualquier número complejo (excepto el cero), z puede ser escrito como z = r e^iφ donde r es un real positivo (llamado módulo) y el ángulo φ es cualquier real (ver Fórmula de Euler). Cada par de la forma (r, φ) de "coordenadas polares" definen a único complejo distinto de cero z en esta notación. El ángulo φ no obstante no está unívocamente determinado por z, como implica la fórmula de Euler: z = r e^{i(φ + 2πk)} para cualquier número entero k. Por esto, generalmente restringimos φ al intervalo (-π, π] y a éste &phi restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ = arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z. La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con esta notación: r e^iφ · s e^iψ = (rs) e^{i(φ + ψ)}. Tanto la división como la exponenciación son igualmente sencillas, la división cambiando el signo del exponente del divisor: r e^iφ / s e^iψ = (rs) e^{i(φ - ψ)}. La potenciación multiplicando los exponentes. La suma sin embargo es especialmente complicada.

Valor absoluto, conjugado y distancia

El valor absoluto o magnitud de un número complejo z es la distancia euclídea desde el origen, si pensamos en z como un punto en el plano; denotamos este valor absoluto como |z|, y este valor es siempre un real no negativo. La definición algebraica quedaría como sigue: si z = a + ib, definimos |z| = (a² + b²)^1/2. Por supuesto si el complejo está escrito en forma polar z = r e^iφ, entonces |z| = r.

Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto

El complejo conjugado de un número z = a + ib será el número z^* = a - ib. Con este número se cumplen las propiedades:

Soluciones de ecuaciones polinómicas

Una raiz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.

Análisis Complejo

Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta de matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales. de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar. Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D para representar las cuatro dimensiones.

Un poco de historia

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raices reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raices de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX

Aplicaciones

Los números complejos se usan en ingeniería eléctrica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver análisis de Fourier. En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frequencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma

f(t) = z e^iωt

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C.

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espaciotiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.

En ecuaciones diferenciales, es habitual encontrar primero las raíces complejas r de la ecuación característica de la ecuación diferencial de primer grado y luego intentar resolver el sistema en términos de las funciones base de la forma: f(t) = e^rt.

Representaciones alternativas de los números complejos

Otras representaciones, no tan frecuentes, de los números complejos pueden darnos otra perspectiva de su naturaleza. Una especialmente elegante interpreta cada complejo como una matriz 2x2 con números reales como entradas que estiran y rotan los puntos del plano.Cada una de estas matrices tiene la forma

  / a  -b  
   b   a /

  / a  -b             / 1  0           / 0  -1  
   b   a /    =    a   0  1 /   +   b   1   0 /

  / 1  0  
   0  1 /

  / 0 -1  
   1  0 /  

El valor absoluto de un complejo expresado como una matriz es igual a la raíz cuadrada del determinante de la matriz. Si vemos la matriz como una transformación del plano, entonces la transformación rota puntos con un ángulo igual al argumento del complejo y escala multiplicando por un factor igual al valor absoluto del complejo. El complejo conjugado de z es la transformación con la misma rotación dispuesta por z pero en sentido inverso, y escala de la misma manera que z; esto puede ser descrito por la traspuesta de la matriz correspondiente a z.

Ver también:

• cuaterniones
• geometría compleja
• cuerpos locales
• vectores
• phasors
• Leonhard Euler
• Identidad de Euler ("La fórmula más importante del mundo")