Matemáticas
Matemáticas (del griego μάθημα, Máthema: Ciencia, conocimiento, aprendizaje, μαθηματικóς, Mathematikós: Amante del conocimiento) es la ciencia que estudia las propiedades de los entes abstractos, como los números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones.
Trata relaciones exactas que existen entre cantidades y magnitudes, y de los métodos por los cuales, de acuerdo a estas relaciones, las cantidades buscadas son deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas.
La ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas.
Las numerosas ramas de la matemática están muy interrelacionadas, he aquí una lista de secciones que podemos considerar en su estudio.
- Los Números
- Números -- Número natural -- Número entero -- Número racional -- Número real -- Número complejo -- Cuaterniones -- Octoniones -- Sedeniones -- Números hiperreales -- Números infinitos -- Dígito -- Sistema de numeración ---
- Matemática del cambio
- Cálculo -- Cálculo vectorial -- Análisis -- Ecuación diferencial - Sistemas dinámicos y teoría del caos -- Lista de funciones -- Logaritmo
- Análisis
- Sucesiones - Series -- Análisis Real -- Análisis Complejo -- Análisis funcional -- Álgebra de operadores
- Estructuras matemáticas
- Álgebra abstracta -- Teoría de números -- Geometría algebraica -- Teoría de grupos -- Monoides -- Análisis -- Topología -- Álgebra lineal -- Teoría de grafos -- Teoría de las categorías
- Espacios
- Topología -- Geometría -- Geometría algebraica -- Geometría diferencial -- Topología diferencial -- Topología algebraica -- Álgebra lineal -- Cuaterniones y rotación en el espacio
- Matemática finita
- Combinatoria -- Teoría de conjuntos -- Estadística y Probabilidad -- Teoría de la Computación -- Matemática discreta -- Criptografía -- Teoría de los grafos -- Teoría de juegos
- Matemática aplicada
- Mecánica -- Cálculo numérico -- Optimización -- Matemáticas discreta -- Estadística y probabilidad
- Teoremas y conjeturas famosas
- Teorema de Fermat -- Hipótesis de Riemann -- Hipótesis del continuo -- clases de complejidad P y NP -- Conjetura de Goldbach -- Conjetura de los números primos gemelos -- Teoremas de incompletitud de Gödel -- Conjetura de Poincaré -- Argumento de la diagonal de Cantor -- Teorema de Pitágoras -- Teorema fundamental del cálculo -- Teorema Fundamental del Álgebra -- Teorema de los cuatro colores -- Lema de Zorn -- Identidad de Euler.
- Fundamentos y Métodos
- Filosofía de las matemáticas -- Intuición matemática -- Constructivismo matemático -- Fundamentos de las matemáticas -- Teoría de conjuntos -- Subconjuntos flojos -- Lógica simbólica -- Lógica floja -- Teoría de modelos -- Teoría de las categorías -- Prueba de los teoremas -- Axiomática -- Inducción
- Historia de las matemáticas. El mundo de los matemáticos
- Historia de las matemáticas -- Matemáticos -- Medallas Fields -- Millennium Prize Problems (Clay Math Prize) -- International Mathematical Union -- Competiciones matemáticas
- Matemáticas recreativas
- Cuadrado mágico -- Papiroflexia
Se dice que las matemáticas abarcan tres ámbitos:
- Aritmética
- Geometría, incluyendo la Trigonometría y las Secciones cónicas
- Ánálisis matemático, en el cual se hace uso de letras y símbolos, y que incluye el álgebra, la geometría analítica y el cálculo.
Cada una de estas categorías se divide a su vez en pura o abstracta, en donde se consideran las magnitudes o cantidades abstractamente, sin relación a la materia; y en aplicada, la cual trata las magnitudes como substancia de cuerpos materiales, y por consecuencia se relaciona con consideraciones físicas.
Históricamente, las matemáticas surgieron con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de las matemáticas en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.
El estudio de la estructura comienza con los números, inicialmente los números naturales y los números enteros.
Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números.
La investigación de métodos de resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal, y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio. El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclideana y luego la trigonometría.
La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales, y el cálculo. Para resolver problemas que dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa del cambio, y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian en las ecuaciones diferenciales.
Los números que usaron para representar las cantidades continuas son los números reales. Para estudiar los procesos de cámbio se utiliza el concepto de función matemática. Los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton y Leibniz, juegan un papel clave en este estudio, que se denomina análisis.
Por razones matemáticas, es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al análisis complejo.
El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto.
Un campo importante en matemáticas aplicadas es la probabilidad y la estadística, que permiten la descripción, el análisis y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias.
El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.
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