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Fórmula de Euler



La Fórmula o relación de Euler, atribuida al matemático Leonhard Euler, establece que:

para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria y sin, cos son funciones trigonométricas.

La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unidad en el plano complejo, dibujada por la función eix al variar sobre los números reales. Así, es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. La fórmula solo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.

La demostración está basada en la expansión en serie de Taylor de la función exponencial ez (donde z es un número complejo), y la expansión de sin x y cos x.

La fórmula de Euler fue demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada por Euler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió unos 50 años mas tarde (ver Caspar Wessel).

La formula proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría. Se utiliza para representar los números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para números complejos.

De las reglas de la exponenciación

y
(válidas para todo par de números complejos y ), se pueden derivar varias identidades trigonométricas, así como la fórmula de De Moivre.

La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y conseno como meras variaciones de la función exponencial:

Estas fórmulas sirven así mismo para definir las funciones trigonométricas para argumentos complejos . Las dos ecuaciones anteriores se obtienen simplemente resolviendo las fórmulas
para el seno y el coseno.

En las ecuaciones diferenciales, la función eix es utilizada a menudo para simplificar derivadas, incluso si la respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos. La identidad de Euler es una consecuencia inmediata de la fórmula de Euler

En ingeniería y otras disciplinas, las señales que varían periódicamente suelen describirse como una combinación de funciones seno y coseno (véase análisis de Fourier), y estas son expresadas mas convenientemente como la parte real de una función exponencial con exponente imaginario, utilizando la fórmula de Euler.


Demostración de la fórmula de Euler utilizando el desarrollo en serie de Taylor:

La función ex (con x real) puede escribirse como:

y para x complejo se define mediante dicha serie. Si multiplicamos por i al exponente:

Reagrupando:

Para simplificar tendremos en cuenta que:

y generalizando para todo n:

Así,

reordenando términos y separando la suma en dos partes (lo que es posible por ser absolutamente convergente):

Si tomamos el desarrollo en serie de Taylor de cos(x) y sin(x):

Por lo tanto:




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